Strong Convergence

释义 Definition

强收敛（strong convergence）：在分析与泛函分析中，指序列（或函数列、算子列）以“更强”的方式逼近极限，最常见的是按范数收敛：若在赋范空间中 \(x_n \to x\) 且 \(\|x_n - x\| \to 0\)，就称 \(x_n\) 强收敛到 \(x\)。
在算子理论里也常指强算子拓扑下的收敛：对每个向量 \(v\)，都有 \(\|T_n v - Tv\| \to 0\)。
（不同领域中“强/弱”对应的具体定义可能略有差别。）

例句 Examples

In a Hilbert space, strong convergence means convergence in norm.
在希尔伯特空间中，强收敛意味着按范数收敛。

The sequence \(T_n\) converges strongly to \(T\) if for every vector \(v\), we have \(\|T_n v - T v\| \to 0\), even though \(T_n\) may fail to converge in operator norm.
若对每个向量 \(v\) 都有 \(\|T_n v - T v\| \to 0\)，则算子列 \(T_n\) 强收敛到 \(T\)，即使它们可能不在算子范数意义下收敛。

发音 Pronunciation (IPA)

/strɔŋ kənˈvɝːdʒəns/

词源 Etymology

strong 源自古英语 strang，有“强的、有力的”之意；convergence 来自拉丁语 convergere（con- “一起” + vergere “转向/倾向”），表示“汇聚、趋同”。组合起来，strong convergence 字面就是“更强意义下的汇聚/收敛”，在数学中用来对比 weak convergence（弱收敛）等较弱的收敛概念。

相关词 Related Words

• Weak Convergence
• Norm
• Banach Space
• Hilbert Space
• Operator
• Strong Operator Topology
• Uniform Convergence
• Pointwise Convergence

文学与著作 Literary Works

• Functional Analysis（Walter Rudin）——讨论赋范空间中的范数收敛与弱/强收敛对比。
• A Course in Functional Analysis（John B. Conway）——在算子与拓扑框架下使用 strong convergence（尤其与强算子拓扑相关）。
• Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. I: Functional Analysis（Reed & Simon）——在谱理论与算子收敛中频繁出现 strong convergence。
• Perturbation Theory for Linear Operators（Tosio Kato）——在算子极限与扰动理论语境中使用强收敛概念。